Question

10．已知直線$l：y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點F₂，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在直線$x=\frac{a^2}{c}$（其中2c為焦距）上，直線m過橢圓左焦點F₁交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$（O為坐標原點），當直線m繞點F₁轉(zhuǎn)動時，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）當y=0，即可求得交點坐標，由原點關(guān)于l的對稱點為（x，y），列方程即可求得x值，則$\frac{a^2}{c}=3$，即可求得a的值，則b²=a²-c²=2，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線m的方程，代入橢圓方程，由題意可知根據(jù)向量的數(shù)量積，即可求得λ的表達式，利用韋達定理及基本不等式的性質(zhì)，即可求得λ的最大值．

解答 解：（1）由直線$l：y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，令y=0，解得x=2，可得c=2，
即橢圓的焦點為（±2，0），
設(shè)原點關(guān)于l的對稱點為（x，y），則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{\frac{y}{2}=\sqrt{3}（\frac{x}{2}-2）}\end{array}}\right.$，
解得x=3，即$\frac{a^2}{c}=3$，可得a²=6，則b²=a²-c²=2，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）由（1）橢圓的焦點為（±2，0），設(shè)直線m：x=ty-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+t²）y²-4ty-2=0，
則y₁+y₂=$\frac{4t}{{3+t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{t}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$，可得$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OM}|•|\overrightarrow{ON}|sin∠MON=λ$，
即有$λ={S_{△MON}}=\frac{1}{2}|O{F_1}|•|{y_1}-{y_2}|$=$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$，
=$\sqrt{\frac{{16{t^2}}}{{{{（3+{t^2}）}^2}}}+\frac{8}{{3+{t^2}}}}$，
=$\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{1+{t^2}}}}{{3+{t^2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{{\sqrt{1+{t^2}}+\frac{2}{{\sqrt{1+{t^2}}}}}}＜$$\frac{{2\sqrt{6}}}{{2\sqrt{2}}}=\sqrt{3}$，
當且僅當$\sqrt{1+{t^2}}=\frac{2}{{\sqrt{1+{t^2}}}}$，即t=±1時，S取得最大值$\sqrt{3}$．
則有λ的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．