Question

已知函數(shù)．
（1）作出f（x）的圖象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0時(shí)的x取值集合；
（4）討論方程f（x）=b解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的的圖象如下圖所示：

（2）由（1）中函數(shù)圖象可得：
函數(shù)的的值域?yàn)椋篬-8，1]

（3）由（1）中函數(shù)圖象可得：
當(dāng)x＜0或2＜x≤3時(shí)，f（x）＜0
故f（x）＜0時(shí)的x取值集合為：（-∞，0）∪（2，3]

（4）當(dāng)b＜-8時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b無(wú)解；
當(dāng)b=-8時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b有一個(gè)解；
當(dāng)-8＜b＜-4時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b有兩個(gè)解；
當(dāng)b=-4時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b無(wú)解；
當(dāng)-4＜b＜-3時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b有一個(gè)解；
當(dāng)-3≤b＜1時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b有兩個(gè)解；
當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b有一個(gè)解；
當(dāng)b＞1時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=b無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)方程f（x）=b無(wú)解．
分析：（1）分段函數(shù)的圖象可分段處理，即在同一坐標(biāo)系中分別化出三段的圖象，最后得到函數(shù)的的圖象．
（2）由（1）的圖象，分析分段函數(shù)每一段上函數(shù)值的取值范圍，其并集即為函數(shù)的值域．
（3）由（1）的圖象，易得到f（x）＜0時(shí)，即函數(shù)圖象位于X軸下方的x取值集合；
（4）由（1）的圖象，我們分段討論函數(shù)圖象與直線y=b的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程f（x）=b解的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x(chóng)、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．