Question

已知f（x）=ax³-2x²+cx的導函數(shù)的值域為[0，+∞），是的最小值為

1. A.
   0
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：先求函數(shù)的導函數(shù)f′（x）=ax²-4x+c，由導函數(shù)的值域為[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2=4，再將所求代數(shù)式通分化簡為關(guān)于（a+c）的函數(shù)，最后設(shè)t=a+c利用換元法，結(jié)合導數(shù)求得函數(shù)的最小值
解答：f（x）=ax³-2x²+cx的導數(shù)為f′（x）=ax²-4x+c
∵導函數(shù)的值域為[0，+∞），
∴
解得：
∵===
===-
設(shè)t=a+c≥2=4，∴t∈[4，+∞）
∴=
設(shè)g（t）= t∈[4，+∞）
g′（t）=+＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）為增函數(shù)
∴g（t）∈[，+∞）
∴的最小值為
故選C
點評：本題考察了導函數(shù)的求法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，均值定理的應(yīng)用以及換元法求函數(shù)的值域的方法