(x-1)
2+y
2=1
分析:求出拋物線焦點F(1,0),設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由直線BC方程與拋物線y
2=4x聯(lián)解,證出x
1x
2=1.根據拋物線的定義,得|AF|=x
1+1,|DF|=x
2+1,結合|AB|•|CD|=1恒成立,通過比較系數(shù)可得|BF|=|CF|=1,所以B、C在以F為圓心,半徑為1的圓上,由此不難確定所求圓的方程.
解答:設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),拋物線焦點為F

∵拋物線方程為y
2=4x
∴2p=4,得

=1,所以F(1,0),直線BC方程可設為y=k(x-1)
由

消去y,得k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0
結合根與系數(shù)的關系,得x
1x
2=

=1
根據拋物線定義,得|AF|=x
1+

=x
1+1,|DF|=x
2+1,
∵不論直線BC怎樣變化,恒有|AB|•|CD|=(|AF|-|BF|)(|DF|-|CF|)=1,
∴(x
1+1-|BF|)(x
2+1-|CF|)=1,結合x
1x
2=1,得|BF|=|CF|=1
因此不論直線BC如何變化,總有點B、C到F的距離總等于1,說明B、C在以F為圓心,半徑為1的圓上,所以定圓方程為(x-1)
2+y
2=1
故答案為:(x-1)
2+y
2=1
點評:本題給出拋物線的焦點弦被定圓截得四條線段,在線段的積為定值的情況下求圓的方程,著重考查了拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系和圓的標準方程等知識,屬于中檔題.