Question

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在點(diǎn)，使.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)幾何體的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用“側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角”，借助向量夾角公式進(jìn)行計(jì)算；（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足，設(shè)出其坐標(biāo)，然后根據(jù)建立等量關(guān)系，確定P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

試題解析：（1)∵側(cè)面底面，作于點(diǎn)，∴平面．

又，且各棱長都相等，∴，，．                                               2分

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

∴，，

．  4分

設(shè)平面的法向量為，

則   

解得．由．

而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，

∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為                  6分

（2）∵，而 

∴

又∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴．

∵，為平面的法向量，

∴由，得．             10分

又平面，故存在點(diǎn)，

使，其坐標(biāo)為，

即恰好為點(diǎn)．                  12分

考點(diǎn)：1.線面角；2.線面平行；（3）空間向量的應(yīng)用.