Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點B到平面AB₁C的距離為（　　）

• A．

  6

  2

  a
• B．

  3

  2

  a
• C．

  3

  3

  a
• D．

  a

  3

Answer 1

分析：根據(jù)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，算出三棱錐B₁-ABC的體積為

1

6

a3，且正三角形AB₁C的面積為

3

2

a2，由此利用等體積轉(zhuǎn)換得V_{三棱錐B1-ABC}=V_{三棱錐B-AB1C}=

1

6

a2，建立關(guān)于d的等式即可解出B到平面AB₁C的距離．

解答：解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a
∴三棱錐B₁-ABC的體積為
V=

1

3

S_△ABC•BB₁=

1

3

×

1

2

a2×a=

1

6

a3
∵正三角形AB₁C的邊長為

2

a
∴S △AB1C=

3

4

•(

2

a)2=

3

2

a2
設點B到平面AB₁C的距離為d，
則V_{三棱錐B1-ABC}=V_{三棱錐B-AB1C}=

1

6

a2
即

1

3

×S △AB1C×d=

1

6

a3，得

3

6

a²d=

1

6

a3，解之得d=

3

3

a
即點B到平面AB₁C的距離為

3

3

a
故選：C

點評：本題在正方體求點B到平面AB₁C的距離．著重考查了正方體的性質(zhì)、正三角形面積公式和利用等體積轉(zhuǎn)換的方法求點面距離等知識，屬于中檔題．