Question

已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

(ω＞0)，的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若f(α)=

2

3

，求cos(4α+

2

3

π)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期公式求出ω的值；
（2）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）通過函數(shù)的表達(dá)式，利用f(α)=

2

3

，求出sin（2x+

π

3

）=

1

3

，利用二倍角的余弦函數(shù)直接求cos(4α+

2

3

π)的值．

解答：解：（1）因為f(x)=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

3

）．
∵函數(shù)的周期是π，所以

2π

2ω

=π，
解得ω=1；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
f(α)=

2

3

，所以

2

3

=2sin（2x+

π

3

）．
∴sin（2x+

π

3

）=

1

3

．
∴cos(4α+

2

3

π)=2sin²（2x+

π

3

）-1=2×(

1

3

)2-1=-

7

9

．

點評：本題考查二倍角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間三角函數(shù)的周期的求法，考查計算能力．