Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx（0≤x≤π），求f（x）的最值．

Answer 1

解：f（x）=cos²x-2asinx=-sin²x-2asinx+1
令t=sinx，因?yàn)?≤x≤π，所以0≤t≤1且y=-t²-2at+1=-（t+a）²+2，其對(duì)稱軸為t=-a，
故-a≤0時(shí)，即a≥0時(shí)，y=-t²-2at+1在[0，1]上是減函數(shù)，最大值為1；最小值為：-2a，
當(dāng)0＜-a＜時(shí)，即時(shí)，當(dāng)t=-a，y有最大值1+a²，最小值為：-2a；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)t=-a時(shí)y有最大值1+a²，最小值為：1；
當(dāng)-a≥1時(shí)，即a≤-1時(shí)，y=-t²-2at+1在[0，1]上是增函數(shù)，最小值為1；最大值-2a．
分析：因?yàn)閏os²x=1-sin²x，用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，按照對(duì)稱軸在區(qū)間的左面、在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間的右面三種情況討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，分類討論思想和換元轉(zhuǎn)換思想．