Processing math: 13%
4.設(shè)函數(shù)f(x)=mn,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(α)=53,求cos(α-\frac{π}{6})的值.

分析 (1)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到f(x),利用輔助角公式化積,由周期公式求得周期,再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的減區(qū)間;
(2)由f(α)=\frac{5}{3},求得sin(2α+\frac{π}{6})=\frac{1}{3},得到cos2(α-\frac{π}{6})=\frac{1}{3},展開(kāi)二倍角的余弦求得cos(α-\frac{π}{6})的值.

解答 解:(1)∵\overrightarrow{m}=(2cosx,1),\overrightarrow{n}=(cosx,\sqrt{3}sin2x),
∴f(x)=\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}=2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1=2sin(2x+\frac{π}{6})+1
∴f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π,
\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ,得\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ,k∈Z
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[\frac{π}{6}+kπ,\frac{2π}{3}+kπ],k∈Z;
(2)由f(α)=\frac{5}{3},得sin(2α+\frac{π}{6})=\frac{1}{3},從而sin[2(α-\frac{π}{6})+\frac{π}{2}]=\frac{1}{3},
∴cos2(α-\frac{π}{6})=\frac{1}{3}
2co{s}^{2}(α-\frac{π}{6})-1=\frac{1}{3},解得cos(α-\frac{π}{6})=±\frac{\sqrt{6}}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的圖象和性質(zhì),是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.已知△ABC的三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列,且最大角的正弦值為\frac{\sqrt{3}}{2},則這個(gè)三角形最小值的正弦值是\frac{3\sqrt{3}}{14}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=8,E為DD1的中點(diǎn).
(1)求異面直線B1C與A1C1所成角的大小;(用反三角函數(shù)形式表示)
(2)求多面體D-BCB1的體積.LF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.已知a>b,ab≠0,下列不等式中恒成立的有( �。�
①a2>b2②2a>2b③a{\;}^{\frac{1}{3}}>b{\;}^{\frac{1}{3}}\frac{1}{a}\frac{1}⑤(\frac{1}{3}a<(\frac{1}{3}b
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.過(guò)橢圓\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1內(nèi)一點(diǎn)R(1,0)作動(dòng)弦MN,則弦MN中點(diǎn)P的軌跡是(  )
A.B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

9.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x},x≥3}\\{f(x+1),x<3}\end{array}\right.,則f(1+log23)的值為\frac{1}{12}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.為了了解中學(xué)生的體能狀況,某校抽取了n名高一學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖),圖中第二小組頻數(shù)為7.
(1)求頻率分布直方圖中a的值及抽取的學(xué)生人數(shù)n;
(2)現(xiàn)從跳繩次數(shù)在[179.5,199.5]內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,求至少有一人跳繩次數(shù)在[189.5,199.5]之間的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{sinπ{x}^{2},-1≤x≤0}\\{{e}^{x-1},x>0}\end{array}\right.,則滿足f(x0)=1的實(shí)數(shù)x0的值為1或-\frac{\sqrt{2}}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},則M∩(∁UN)={x|-2≤x<0}.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案