Question

(湖北省八校高第二次聯(lián)考) 已知A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量滿足．

（Ⅰ）求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)的中點(diǎn)到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．

Answer 1

,p=2

解析:

（1）證明  , .設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（），（）

則 .

經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為

由，得

 . 令，得, .   

從而. (否則, 有一個(gè)為零向量),

.  代入①，得  ，始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn). 

（2）解  設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為()，

則 .

又,  ，

即      ①

AB的中點(diǎn)到直線的距離.

將①代入，得.

因?yàn)?i>d的最小值為.