Question

12．某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名學生百米測試成績的中位數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）．
（Ⅱ）若從第一、五組中隨機取出三名學生成績，設取自第一組的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列，期望及方差．

Answer 1

分析 （I）利用加權平均數(shù)公式計算；
（II）根據(jù)超幾何分布概率公式計算概率，得出分布列，再計算均值和方差．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=13.5×0.06+14.5×0.16$+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08=0.81+2.32+5.89+5.28+1.4=15.7，
中位數(shù)為：$15+\frac{0.5-0.06-0.16}{0.38}$≈15.7．
（Ⅱ）第一組人數(shù)為0.06×1×50=3人，第五組人數(shù)為0.08×1×50=4人．
∴ξ的可能取值為0，1，2，3．
$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1C_4^2}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（{ξ=2}）=\frac{C_3^2C_4^1}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（{ξ=3}）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴$Eξ=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}$$+3×\frac{1}{35}=\frac{45}{35}=\frac{9}{7}$．
$Dξ={（{0-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{4}{35}+{（{1-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{18}{35}$$+{（{2-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{12}{35}+{（{3-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{1}{35}$=$\frac{840}{{{7^2}×35}}=\frac{24}{49}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，頻率分布直方圖，屬于中檔題．