Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acos（π+C）+2b=c．
（1）求角A的大��；
（2）若cos（$\frac{3π}{2}$-C）+2sin（π-B）=0，且a=$\sqrt{3}$，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式，余弦定理化簡已知可求$cosA=\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用誘導公式，正弦定理化簡等式可得c=2b，又由余弦定理可求b，c的值，理由勾股定理即可判斷△ABC的形狀．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）在△ABC中，由2acos（π+C）+2b=c，
可得：-2acosC+2b=c．即：$-2a（\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}）+2b=c$，
化簡得b²+c²-a²=bc，即：$cosA=\frac{1}{2}$，
又因為：A∈（0，π），
所以：$A=\frac{π}{3}$．…6分
（2）△ABC的形狀為直角三角形，理由如下：
由$cos（\frac{3π}{2}-C）+2sin（π-B）=0$，得-sinC+2sinB=0，即c=2b，
又由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA，
將a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，c=2b 代入，可得：3=b²+4b²-2b²，
解得 b=1，c=2，即a²+b²=c²，
即△ABC的形狀為直角三角形，得證．…12分

點評 本題主要考查了誘導公式，余弦定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎題．