Question

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，α∈(

3π

2

，2π)求sin2α和cos

α

2

的值．

Answer 1

分析：先根據(jù)兩角差的余弦公式求出cosα；結(jié)合α的范圍以及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出sinα即可得到sin2α；最后結(jié)合二倍角公式的變形形式即半角公式即可求出cos

α

2

．

解答：解：∵cosα=cos[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

1

3

；
又因?yàn)椋害痢剩?span id="j7gte0u" class="MathJye">

3π

2

，2π），得到

α

2

∈（

3π

4

，π）；
∴sinα=-

1-cos 2α

=-

2 2

3

；
∴sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

．
cos

α

2

=-

1+cosα 2

=-

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角公式的應(yīng)用．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．