如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°

(1)證明：C1C⊥BD

(2)假定CD＝2，CC1＝．設(shè)CD＝2，CC1＝．設(shè)面C1BD為．面CBD為．求二面角―BD―的余弦．

(3)當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD．請(qǐng)給出證明．

答案：
解析：

　　(1)證明：連A1C1、AC．AC和BD交于O，連接C1O．

　　∵四邊開ABCD是菱形

　　∴AC⊥BD，BC＝CD

　　又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C

　　∴△C1BC≌△C1DC

　　∴C1B＝C1D

　　∵OD＝OB

　　∴C1O⊥BD

　　但AC⊥BD，AC∩C1O＝O

　　∴BD⊥面AC1，又C1C面AC1

　　∴C1C⊥BD

　　(2)由AC⊥BD，C1O⊥BD

　　∴∠C1OC是二面角―BD―的平面角．

　　在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60°

　　∴C1B2＝22＋()2－2×2××cos60°＝

　　∵∠OCB＝30°

　　∴OB＝BC＝1

　　∴C1O2＝C1B2－OB2＝－1＝

　　∴C1O＝，即C1O＝C1C，作C1H⊥OC，垂足為H．

　　∴H是OC中點(diǎn)，且OH＝．

　　∴cosC1OC＝＝

　　(3)由(1)知BD⊥面AC1，

　　∵A1C面AC1．

　　∴BD⊥A1C，當(dāng)＝1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同BD⊥A1C的證法可得BC1⊥A1C．又BD∩BC1＝B

　　∴A1C⊥面C1BD．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點(diǎn)G是上底面O1A1B1C1的中心，且
OA
=
a
，
OC
=
b
，
OO1
=
c
，則用
a
，
b
，
c
表示向量
OG
為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1（底面是平行四邊形的四棱柱）
①求證：平面AB1D1∥平面BDC1；
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD的中點(diǎn)，AC1∩BD1=0，求證：OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD．

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