Question

已知方向向量為v=（1，）的直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2）和橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足•=．cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）解法一：直線l：y=x-2，過(guò)原點(diǎn)垂直l的直線方程為y=-x，這兩個(gè)方程聯(lián)立可知x=．再由橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，可知=3．由此可以求出橢圓C的方程．
解法二：直線l：y=x-3．設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3．由橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，知=3．由此能夠推出橢圓C的方程．
（II）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m：y=k（x+2）代入+=1，整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系和點(diǎn)到直線 的距離求解．
解答：解：（I）解法一：直線l：y=x-2，①
過(guò)原點(diǎn)垂直l的直線方程為y=-x，②
解①②得x=．
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∴=2×=3．
∵直線l過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為+=1③
解法二：直線l：y=x-3．
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3．
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∴=3．
∵直線l過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為+=1③

（II）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
|MN|===，
點(diǎn)O到直線MN的距離d=．
∵•=cot∠MON，即||•||cos∠MON=≠0，
∴||•||sin∠MON=4，∴S_△OMN=．∴|MN|•d=，
即4|k|=（3k²+1），
整理得k²=，∴k=±．
當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足S_△OMN=．
故直線m的方程為y=x+，或y=-x-，或x=-2．
經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足•≠0．
所以所求直線方程為y=x+，或y=-x-，或x=-2．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線的橢圓的位置關(guān)系，具有一定的難度，解題時(shí)要注意培養(yǎng)運(yùn)算能力．