Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，若b_n=log₂a_n-2，則b₁•b₂•…•b_n的最大值為$\frac{625}{4}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，取對(duì)數(shù)可得：log₂a_n+1=1+$\frac{1}{2}lo{g}_{2}{a}_{n}$．由b_n=log₂a_n-2，代入可得：b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b_n=-10×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．代入b₁•b₂•…•b_n=（-10）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{1+2+…+（n-1）}$=（-10）ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=f（n）．作商$\frac{f（n+2）}{f（n）}$=$\frac{100}{{2}^{2n+1}}$，只考慮n為偶數(shù)時(shí)，即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，
∴l(xiāng)og₂a_n+1=1+$\frac{1}{2}lo{g}_{2}{a}_{n}$．
∵b_n=log₂a_n-2，
b_n+1+2=1+$\frac{1}{2}（_{n}+2）$，變形為：b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，
b₁=$lo{g}_{2}\frac{1}{256}$-2=-10．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-10，公比為$\frac{1}{2}$．
∴b_n=-10×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
則b₁•b₂•…•b_n=（-10）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{1+2+…+（n-1）}$=（-10）ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=f（n）．
$\frac{f（n+2）}{f（n）}$=$\frac{100}{{2}^{2n+1}}$，只考慮n為偶數(shù)時(shí)，
n=2時(shí)，$\frac{f（4）}{f（2）}$=$\frac{25}{8}$＞1．
n=4時(shí)，$\frac{f（6）}{f（4）}$=$\frac{25}{128}$＜1．
因此f（4）取得最大值．最大值為（-10）⁴×2^-6=$\frac{625}{4}$．
故答案為：$\frac{625}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、作商法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．