Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且點$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=-1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且點$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）由（1）可得：左頂點A（-2，0），右焦點（1，0）．由題意可知直線l不存在時不滿足條件，可設直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用斜率計算公式可得k₁+k₂=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1，代入化簡整理即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且點$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可得：左頂點A（-2，0），右焦點（1，0）．
由題意可知直線l不存在時不滿足條件，可設直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立橢圓方程，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由題意可得△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∵k₁+k₂=-1，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1，
化為k（x₁-1）（x₂+2）+k（x₂-1）（x₁+2）+（x₁+2）（x₂+2）=0，
整理為（2k+1）x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+4-4k=0．
代入整理為k²-k=0，解得k=0或1．
k=0不滿足題意，應舍去．
故k=1，此時直線l的方程為y=x-1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、斜率計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．