Question

某人定制了一批地磚.每塊地磚〔如圖(1)所示〕是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.

(1)求證：四邊形EFGH是正方形.

(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？

(1)

(2)

Answer 1

思路分析：(1)由于四塊地磚拼出了四邊形EFGH，只需證明△CFE,△CFG,△CGH,△CEH為等腰直角三角形即可；(2)建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題.設CE=x，每塊地磚的費用為W，求出函數(shù)W=f(x)的解析式，轉化為討論求函數(shù)的最小值問題.

解：(1)圖(2)可以看成是由四塊圖(1)所示的地磚繞點C按順時針旋轉90°后得到，則有CE=CF，∠ECF=90°,

∴△CFE為等腰直角三角形.

同理,可得△CFG,△CGH,△CEH為等腰直角三角形.

∴四邊形EFGH是正方形.

(2)設CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為W，設制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，

W=x²·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16x²×0.4×(0.4-x)］a

=a(x²-0.2x+0.24)

=a［(x-0.1)²+0.23］(0＜x＜0.4).

由于a＞0，則當x=0.1時，W有最小值，即總費用為最省,

即當CE=CF=0.1米時，總費用最省.