Question

1．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），且滿足$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5π}{2}$-β），則α+β=$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式，得到$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=0，①，sinα=$\sqrt{2}$sinβ，②，求出cos²α=$\frac{1}{2}$，cos²β=$\frac{3}{4}$，繼而求出α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$，問題得以解決．

解答 解∵∵$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cosα）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=0，①
∵sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5π}{2}$-β），
∴sinα=$\sqrt{2}$sinβ，②，
由①②，解得cos²α=$\frac{1}{2}$，cos²β=$\frac{3}{4}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$，
∴α+β=$\frac{5π}{12}$，
故答案為：$\frac{5π}{12}$

點評 本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．