解:(Ⅰ)若|CA|=
,則有 (cosα-1)
2+sin
2α=3,化簡(jiǎn)可得cosα=-
,∴α=2kπ+
,或α=2kπ+
,k∈z.
(Ⅱ)∵
=(cosα-1,sinα)•(cos(α+
)-1,sin(α+
))=(cosα-1)[cos(α+
)-1]+sinα•sin(α+
)
=(cosα-1)(
cosα-
sinα-1)+sinα(
sinα+
cosα)=
cos
2α-
sinαcosα-cosα-
+
+1+
sin
2α+
=
-
cosα+
=
+
(
sinα-
cosα)=
+
sin(α-
),
而由α∈(
),可得 α-
∈[-
,
],∴-
≤sin(α-
)≤
,∴-
≤
sin(α-
)≤
,
故
≤
≤
,即
的取值范圍是[
,
].
分析:(Ⅰ)由|CA|=
,可得 (cosα-1)
2+sin
2α=3,化簡(jiǎn)可得cosα=-
,由此求得 α 的值.
(Ⅱ)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)
的解析式為
+
sin(α-
),由α∈(
),可得 α-
∈[-
,
],再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得
的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和差的正弦公式,兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.