Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過頂點(diǎn)A₁作直線l，使l與直線AC和直線BC₁所成的角均為60°，則這樣的直線l有

3

條．

Answer 1

分析：因?yàn)锳D₁∥BC₁，過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于 60⁰，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于 60⁰．可分在平面ACD₁內(nèi)和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因?yàn)橐�與直線AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁內(nèi)可考慮角平分線；在平面AC1₁外可將角平分線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮．

解答：解：因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于 60°，即過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于 60°．
因?yàn)椤螩AD₁=60°，∠CAD₁的外角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內(nèi)有一條滿足要求．
因?yàn)椤螩AD₁的角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為30°，
將角平分線繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面ACD₁垂直的過程中，存在兩條直線與直線AC和AD₁所成的角都等于 60°；
故符合條件的直線有3條．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．在解決本題的過程中，轉(zhuǎn)化思想很重要．