Question

(本小題12分)設函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若=1 ,為整數(shù),且當0時,，求的最大值.

 

Answer 1

（1）若，則，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

若，則當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）整數(shù)的最大值為2.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的表達式可判斷其定義域，然后對其進行求導可得，由于導函數(shù)中含有參數(shù)，將其分為兩種情況：①，此時易判斷出函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②，可求出其極值點，然后判斷函數(shù)在極值點的左右兩側的單調(diào)性即可；

（2）首先將問題“當0時,”轉化為“恒成立，其中”，即，記，求其導函數(shù)，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點.從而得出函數(shù)的最小值并求出其取值范圍，進而得出整數(shù)的最大值.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為R，所以.

若，則，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

若，則當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）因為，所以，所以當時，等價于，其中.

令，則.

由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點.設此零點為，則.

當時，；當時，；所以在上的最小值為.又由可得，，所以，所以，故整數(shù)的最大值為2.

考點：1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、導數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應用.