如圖，四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD,ADAB，CD//AB且AB=AD，PA與底面ABCD成60角，點M，N分別是PA，PB的中點.

（Ⅰ）求證：AB平面PAD；

（Ⅱ）求二面角P-MN-D的大�。�

（Ⅲ）當(dāng)為何值時，DNBC，并請證明你的結(jié)論.

（Ⅰ）證明：∵PD底面ABCD，AB底面ABCD，∴PDAB

　　　又∵ADAB且AD平面PAD，PDAD=D，

　　　　∴AB平面PAD；３分

（Ⅱ）解：∵點M，N分別是PA，PB的中點，

∴MN//AB，由（Ⅰ）知AB平面PAD，

∴MN平面PAD，

∴MNPM，MNMD，

∴PMD為二面角P-MN-D的平面角，

∵PD底面ABCD，∴PA與底面ABCD所成的角即為PAD，

∴PAD＝60，∵為直角三角形斜邊的中點，

∴為等腰三角形，且MPD＝30，∴PMD＝120；

（Ⅲ）過點N作NO//PD交BD點O，∵PD底面ABCD,

　　　∴NO底面ABCD,BD為直線ND在底面ABCD上的射影，

　　　要DNBC，由三垂線定理的逆定理有要BDBC，

　設(shè)AD=，則由AB=AD得AB=，

　又ADAB∴在直角三角形ABD中，BD=，

∴，

∵CD//AB，∴ABD=BDC，cosABD=cosBDC=，

在直角三角形BDC中，

DC=，

，即時，DNBC

（Ⅲ）以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=，則AB=2，PD=，設(shè)DC=，則

A(,0,0),B(,2,0),P(0,0,),C(0, ,0)

則N()，，,

而，時時，

而.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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