已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率是，且左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)F的距離為3．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，A、B在右準(zhǔn)線l上的射影分別為M、N．

求證：AN與BM的交點(diǎn)在x軸上．

答案：
解析：

　　(1)解：設(shè)橢圓C的方程為()

　　則由，得

　　所以橢圓C的方程為……(6分)

　　(2)證明：①當(dāng)AB垂直于軸時(shí)，AB的坐標(biāo)分別為，，AN與BM的交點(diǎn)為在x軸上．…………(8分)

　�、诋�(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，

　　代入橢圓，得

　　設(shè)，，則，，

　　且…………(10分)

　　∵直線AN方程是，直線BM方程是．

　　聯(lián)列，得，消去y，得：．

　　即即，……(12分)

　　把代入直線AN的方程　

　　得

　　

　　∴AN與BM交于點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn)．…………(14分)

　　(2)解法二：如圖

　　設(shè)AF＝n，則AM＝2n，設(shè)BF＝m，則BN＝2m，

　　在△ABN和△BAM中，F(xiàn)H∥AM，F(xiàn)H1∥BN，

　　∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1

　　∴，…………(10分)

　　同理可推，

　　∴，…………(12分)

　　∴，∴H與H1重合∴AN與BM交點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn)．…………(14分)


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（本小題滿分14分） 已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原

點(diǎn)，左焦

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C，求△ABC面積的最大值。

 

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。

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