Question

6．已知直線y=2x+2上的動點（a_n，a_n+1），n∈N^•與定點（2，-3）所成直線的斜率為b_n，且a₁=3，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：$\frac{1}{{{b_1}-2}}+\frac{1}{{{b_2}-2}}+\frac{1}{{{b_3}-2}}+…+\frac{1}{{{b_n}-2}}＜{2^n}$．

Answer 1

分析 （1）動點（a_n，a_n+1）在直線y=2x+2上，n∈N^•，可得a_n+1=2a_n+2，由a_n+1=2a_n+2，變形為a_n+1+2=2（a_n+2），即可證明．
（2）直線y=2x+2上的動點（a_n，a_n+1），n∈N^•與定點（2，-3）所成直線的斜率為b_n，可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}-2}$=$\frac{2{a}_{n}+5}{{a}_{n}-2}$，變形為$\frac{9}{_{n}-2}$+2=a_n．可得$9（\frac{1}{_{1}-2}+\frac{1}{_{2}-2}+…+\frac{1}{_{n}-2}）$+2n=a₁+a₂+…+a_n，即可證明．

解答 （1）解：動點（a_n，a_n+1）在直線y=2x+2上，n∈N^•，
∴a_n+1=2a_n+2，
由a_n+1=2a_n+2，變形為a_n+1+2=2（a_n+2），又a₁=3，
∴數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，首項為5，
∴a_n+2=5×2^n-1，解得a_n=5×2^n-1-2．
（2）證明：∵直線y=2x+2上的動點（a_n，a_n+1），n∈N^•與定點（2，-3）所成直線的斜率為b_n，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}-2}$=$\frac{2{a}_{n}+5}{{a}_{n}-2}$=2+$\frac{9}{{a}_{n}-2}$，∴$\frac{9}{_{n}-2}$+2=a_n．
∴$9（\frac{1}{_{1}-2}+\frac{1}{_{2}-2}+…+\frac{1}{_{n}-2}）$+2n=a₁+a₂+…+a_n=$5×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2n，
∴$\frac{1}{_{1}-2}+\frac{1}{_{2}-2}$+…+$\frac{1}{_{n}-2}$=$\frac{5×{2}^{n}-5-4n}{9}$$＜\frac{5×{2}^{n}}{9}$＜2ⁿ．
∴$\frac{1}{{{b_1}-2}}+\frac{1}{{{b_2}-2}}+\frac{1}{{{b_3}-2}}+…+\frac{1}{{{b_n}-2}}＜{2^n}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的定義與通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．