Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，則關(guān)于x 的方程f（x）=lg（x+1），在x∈[0，9]上解的個數(shù)是

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：首先有已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的性質(zhì)，再利用函數(shù)與方程思想把問題轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，即可得解
解答：設(shè)y₁=f（x），y₂=lg（x+1）
方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的個數(shù)，即為函數(shù)y₁=f（x），y₂=lg（x+1）的圖象在x∈[0，9]上交點的個數(shù)
∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2）
∴原函數(shù)的周期T=2
又∵x∈[0，1]時，f（x）=-x+1
由以上條件，可畫出y₁=f（x），y₂=lg（x+1）在x∈[0，9]的圖象：
又因為當(dāng)x=9時，y₁≤1，y₂=1
∴結(jié)合圖象可知，在[0，9]上y₁=f（x），y₂=lg（x+1）的圖象共有9個交點
∴在[0，9]上，原方程有9個根
故選C
點評：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬較難題