Question

在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的斜邊BC恰在x軸上，點B（-2，0），C（2，0），且AD為BC邊上的高．
（1）求AD中點G的軌跡方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與（1）中G的軌跡交于兩不同點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ？若存在，求出點E的坐標及實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)G（x，y），則A（x，2y），結(jié)合B，C的坐標求得

AB

，

AC

的坐標，代入

AB

•

AC

=0求得AD中點G的軌跡方程；
（2）假定存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值，由于軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸，于是可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合

PE

•

QE

恒為定值λ列關(guān)于m，λ的方程組，求得λ的值得答案．

解答： 解：（1）設(shè)G（x，y），則A（x，2y），而B（-2，0），C（2，0），
∴

AB

=(-2-x，-2y)，

AC

=(2-x，-2y)．
由

AB

•

AC

=0，得

x2

4

+y2=1(y≠0)，即為中點G的軌跡方程；
（2）假定存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值．
由于軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸，
于是可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，且設(shè)點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
將x=ky+1代入

x2

4

+y2=1(y≠0)，得（k²+4）y²+2ky-3=0．
顯然△＞0，
y3+y4=-

2k

k2+4

，y3y4=-

3

k2+4

．
∵

EP

=(x3-m，y3)，

EQ

=(x4-m，y4)，
則

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
=(1+k2)y3y4+k(1-m)(y3+y4)+m2-2m+1
=

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

．
若存在定點E（m，0），使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

=λ為定值（λ與k值無關(guān)），
則必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

，解得m=

17

8

，λ=

33

64

．
∴在x軸上存在定點E（

17

8

，0），使

PE

•

QE

恒為定值

33

64

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運算，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的數(shù)學解題思想方法，是壓軸題．