Question

已知函數f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求函數的定義域，把a=1代入函數解析式，求導，得單調區(qū)間；
（2）令t=x+1，若x≥0時，則t≥1
函數f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1=alnt+

1

t

+3t-4．
x≥0時，f（x）≥0恒成立，等價于t≥1時，alnt+

1

t

+3t-4≥0．
令g（t）=alnt+

1

t

+3t-4．
對函數g（t）求導，研究g（t）即可．

解答： 解：（1）函數的定義域為（-1，+∞）
當a=1時，f′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

+3=

3x2+7x+3

(x+1)2

，
令f′（x）=0得x₁=

-7- 13

6

、x₂=

-7+ 13

6

，
∴當-1＜x＜

-7+ 13

6

時，f′（x）＜0，∴f（x）的單調減區(qū)間為（-1，

-7+ 13

6

）；
∴當x＞

-7+ 13

6

時，f′（x）＞0，∴f（x）的單調增區(qū)間為（-

-7+ 13

6

，+∞）；
（2）令t=x+1，若x≥0時，則t≥1
函數f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1=alnt+

1

t

+3t-4．
x≥0時，f（x）≥0恒成立，等價于t≥1時，alnt+

1

t

+3t-4≥0．
令g（t）=alnt+

1

t

+3t-4．
g（1）=0+1+3-4=0
g′（t）=

a

t

-

1

t2

+3=

3t2+at-1

t2

設h（t）=3t²+at-1
則h（t）恒過（0，-1）
①當h（1）≥0，畫函數y=h（t）的圖象如圖：

故當h（1）≥0，即3+a-1≥0，也即a≥-2時，h（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g′（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g（t）在t≥1時遞增，∴g（t）≥g（1）=0恒成立，
②當h（1）＜0時，

即當h（1）＜0，即3+a-1＜0，也即a＜-2時，h（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g′（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g（t）在t∈（1，t₂）時遞減，∴g（t）＜g（1）=0恒成立，不滿足g（t）＞0恒成立，
綜上a≥-2

點評：本題主要研究函數與導數的關系，情況復雜時，可以進行分類討論，同時結合圖象解題也是常用方法．