已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)求證:當x>1時,f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求證:f(x1)>f(2-x2).
【答案】分析:(1)對f(x)求導,令f′(x)=0,解出后判斷根的兩側導函數(shù)的符號即可確定出單調(diào)性和極值.(2)比較兩個函數(shù)的大小可將它們作差,研究新函數(shù)的最小值,使最小值大于零,不等式即可證得.(3)由(2)的結論知x>1時,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)>0,∴f(x2)>g(x2).∵f(x1)=f(x2),∴f(x1)>g(x2).即可證得結論.
解答:解:(1)∵f(x)=,∴f'(x)=
令f'(x)=0,解得x=1.
x(-∞,1)1(1,+∞)
f'(x)+-
f(x)極大值
∴f(x)在(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù),在(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
∴當x=1時,f(x)取得極大值f(1)=

(2)證明:令F(x)=f(x)-g(x)=,
則F'(x)=
當x>1時,1-x<0,2x>2,從而e2-e2x<0,
∴F'(x)>0,F(xiàn)(x)在(1,+∞)是增函數(shù).
∴F(x)>F(1)==0,故當x>1時,f(x)>g(x).
(3)證明:∵f(x)在(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù),在(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù)、
∴當x1≠x2,且f(x1)=f(x2)時,x1、x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).
不妨設x1<1<x2,
由(2)的結論知x>1時,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)>0,∴f(x2)>g(x2).
∵f(x1)=f(x2),∴f(x1)>g(x2).
又g(x2)=f(2-x2),∴f(x1)>f(2-x2).
點評:此題是個難題.主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力,具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎知識,考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.
練習冊系列答案
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