Question

A、B、C是半徑為1的球面上的三點，B、C兩點間的球面距離為，A與B、A與C的兩點間球面距離均為，設球心為O，求球心O到截面ABC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

已知條件中涉及O、A、B、C四個點，將四個點所確定的圖形抽象出來，可使問題較為順利地轉化求解．   　　如圖所示，O為球心，A、B、C為球面上的三點 　　則AO=BO=CO=1 　　∠AOC=∠AOB=，∠BOC= 　　∴　AC=AB=，BC=1 　　在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC= 　　∴　sin∠BAC= 　　設球半徑為R，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為r，則由正弦定理得r= 　　∴　OO′= 　　即球心O到截面ABC的距離為． 　　解法二：題目中涉及到角、垂直、距離等關系，可轉換角度，通過構造向量，利用向量法求解． 　　由已知可得： 　　∠AOC=∠AOB=，∠BOC= 　　設=a， =b， =c 　　則|a|=|b|=|c|=1 　　a·b=a·c=0，b·c= 　　設OO′⊥面ABC，O′為垂足 　　則=x+y+z 　　　　　=xa+yb+zc 　　其中x+y+z=1　�、� 　　由OO′⊥BC得： 　　· =(xa+yb+zc)·(c-b)  　　　　　　　 =y(b·c-|b|2)+z(|c|2-c·b) 　　　　　　　 =-y+z=0 　　∴　y=z　　　　　　　　　�、� 　　由OO′⊥AB得： 　　· =(xa+yb+zc)·(b-a) 　　　　　　　　=-x|a|2+y|b|2+zc·b 　　　　　　　　=-x+y+z 　　　　　　　 =0　　　　　　　　　　　�、� 　　解①、②、③得x=，y=，z= 　　∴　=a+b+c 　　∴　||2=(a+b+c)2 　　　　　　　=(9|a|2+4|b|2+4|c|2+8b·c) 　　　　　　　=(9+4+4+8×)= 　　∴　||= 　　故球心O到面ABC的距離為．