Question

已知定義在R的奇函數f（x）滿足當x＞0時，f（x）=|2^x-2|，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在圖中的坐標系中作出函數y=f（x）的圖象，并找出函數的單調區(qū)間；
（3）若集合{x|f（x）=a}恰有兩個元素，結合函數f（x）的圖象求實數a應滿足的條件．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用奇函數的性質即可得出；
（2）如圖所示，由圖象即可得出單調區(qū)間；
（3）作直線y=a與函數y=f（x）的圖象有兩個交點，即可得出a的取值范圍．

解答： 解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∴f(-x)=|2-x-2|=|(

1

2

)x-2|，
又f（-x）=-f（x），
∴f(x)=-|(

1

2

)x-2|．
∴函數f（x）的解析式為：f(x)=

|2x-2|，x＞0 0，x=0 -|( 1 2 )x-2|，x＜0

  
（2）圖象如圖所示，
由圖象得函數的減區(qū)間為[-1，0）和（0，1]．
增區(qū)間為（-∞，-1]和[1，+∞）．
（3）作直線y=a與函數y=f（x）的圖象有兩個交點，
則a∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查了奇函數的圖象與單調性、直線與相交的交點問題，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．