Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-x）-cosx（x∈R）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大、小值；
（3）若f（α）=

2

2

，α∈（0，

π

2

），求sinα+cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=

2

sin（x-

π

4

），代值計(jì)算可得f（0）；（2）由（1）知f（x）=

2

sin（x-

π

4

），易得周期和最值；（3）由已知可得sin（α-

π

4

）=

1

2

，由范圍可得α=

π

4

+

π

6

，代入要求的式子化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（π-x）-cosx
=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
∴f（0）=

2

sin（-

π

4

）=-1；
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（x-

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π
最大、小值分別為：

2

，-

2

；
（3）由f（α）=

2

2

可得

2

sin（α-

π

4

）=

2

2

，
化簡(jiǎn)可得sin（α-

π

4

）=

1

2

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α-

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

），
∴α-

π

4

=

π

6

，解得α=

π

4

+

π

6

，
∴sinα+cosα=sin（

π

4

+

π

6

）+cos（

π

4

+

π

6

）
=

2

2

（

3

2

+

1

2

）+

2

2

（

3

2

-

1

2

）=

6

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題．