Question

13．已知點F₁是拋物線C：x²=4y的焦點，點F₂為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過F₂作拋物線C的切線，切點為A，若點A恰好在以F₁，F₂為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 設A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．對拋物線C：x²=4y求導可得：y′=x，由${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀．可得$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，解得A．設雙曲線標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，代入雙曲線方程，又a²+b²=1．聯立解得代入e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出．

解答 解：F₁（0，1），F₂（0，-1）．
設A$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．
對拋物線C：x²=4y求導可得：y′=$\frac{1}{2}$x，
∴${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀．
∴$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
解得x₀=±2，A（±2，1）．
設雙曲線標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1．
又a²+b²=1．
聯立解得：b²=2$\sqrt{2}$-2，a²=3-2$\sqrt{2}$．
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．