Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0）
（1）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）通過討論a的范圍，從而得出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=-

(x-1)(2ax+1)

x

，
∵x＞0，a＞0，∴2ax+1＞0，
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴x=1時(shí)，f（x）_最大值=f（1）=a-1；
（2）由（1）得，x=1時(shí)，f（x）的最大值是a-1，
①0＜a＜1時(shí)，f（1）＜0，函數(shù)f（x）與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，
②a=1時(shí)，f（1）=0，若x≠1，則f（x）＜f（1），即f（x）＜0，且x=1∈（

1

e

，2），
此時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
③a＞1時(shí)，f（1）＞0，又f(

1

ea

)=-a(

1

ea

-1)2-

1

ea

＜0，f（2）=ln2-2＜0，
函數(shù)f（x）與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上：0＜a＜1時(shí)，f（x）沒有零點(diǎn)，a=1時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，a＞1時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．