Question

函數y=2x+4

1-x

的值域是

 

，y=(

1

2

)x2-x-

1

4

的值域是

 

．函數y=log

1

3

(8+2x-x2)的值域是

 

．

Answer 1

分析：（1）本題中自變量的冪存在二倍關系，可以采用換元法處理．
（2）本小題是由指數函數與一元二次函數構成的復合函數，求值域需先求出一元二次函數的值域．
（3）本小題是由對數函數與一元二次函數構成的復合函數，求值域需先求出一元二次函數的值域．注意真數＞0．

解答：解：（1）令

1-x

=t， t ≥ 0 ， 則1-x = t2，即x=1-t2
∴函數y=2x+4

1-x

=2（1-t²）+4t
=-2（t-1）²，t≥0
此函數是開口向下，以t=1為對稱軸的二次函數．
當t=1時，函數有最大值為0．
故答案為：（-∞，0]．
（2）令g（x）=x2-x-

1

4

=（x-

1

2

）²-

1

2

，
∴函數g（x）是開口向上，以x=

1

2

為對稱軸的二次函數，
∴函數g（x）有最小值為-

1

2

，即g（x）≥-

1

2

，
∴根據指數函數圖象性質可知：
當g（x）=-

1

2

時，函數y=(

1

2

)x2-x-

1

4

有最大值為(

1

2

)-

1

2

=

2

，
故答案為：（0，

2

]．
（3）令p（x）=8+2x-x²，由真數p（x）＞0得，-2＜x＜4，
∴函數p（x）=-（x-1）²+9-2＜x＜4，
∴p（x）的圖象是開口向下、以x=1為對稱軸的二次函數圖象的一部分，
∴當x=1時，p（x）有最大值為9，即p（x）≤9，
∴函數y=log

1

3

p(x)有最小值為log

1

3

9=-2，
故答案為：[-2，+∞）

點評：第（1）個函數是形如：y=（ax+b）+

cx+d

模型的函數，求值域事宜采用換元法．
第（2）個函數是復合函數，單調性遵循同增異減，求值域需知道g（x）的范圍．此類題型值得注意的是：指數的函數值大于0．
第（3）個函數是由對數函數與二次函數復合函數，單調性遵循同增異減，求值域需知道p（x）的范圍．注意真數大于0的條件的使用．