Question

20．在平面上$\overrightarrow{A{B_1}}$⊥$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{O{B_1}}$|=|$\overrightarrow{O{B_2}}$|=1，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{B_1}}$+$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{OP}$|＜$\frac{2}{3}$，則$|{\overrightarrow{OA}}|$的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{14}}}{3}]$
• B． $（\frac{{\sqrt{14}}}{3}，\sqrt{2}]$
• C． $（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}]$
• D． $（\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{7}]$

Answer 1

分析 由已知作出圖形，設出點O（x，y），|AB₁|=a，|AB₂|=b，則點P（a，b），結(jié)合$|{\overrightarrow{O{B_1}}}|=|{\overrightarrow{O{B_2}}}|=1$求出x²+y²的范圍得答案．

解答 解：根據(jù)條件知A，B₁，P，B₂構(gòu)成一個矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設點O（x，y），|AB₁|=a，|AB₂|=b，則點P（a，b），
由$|{\overrightarrow{O{B_1}}}|=|{\overrightarrow{O{B_2}}}|=1$，得$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}+{y^2}=1}\\{{x^2}+{{（y-b）}^2}=1}\end{array}}\right.$，則$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}=1-{y^2}}\\{{{（y-b）}^2}=1-{x^2}}\end{array}}\right.$，
∵$\overrightarrow{|{OP}|}＜\frac{2}{3}$，∴${（x-a）^2}+{（y-b）^2}＜\frac{4}{9}$，
∴$1-{x^2}+1-{y^2}＜\frac{4}{9}$，得${x^2}+{y^2}＞\frac{14}{9}$，
∵（x-a）²+y²=1，∴y²=1-（x-a）²≤1．
同理x²≤1，∴x²+y²≤2．
綜上可知，$\frac{14}{9}＜{x^2}+{y^2}≤2$，則$|{\overrightarrow{OA}}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}∈（\frac{{\sqrt{14}}}{3}，\sqrt{2}]$．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，由題意抽象出圖形是關(guān)鍵，是中檔題．