Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，在上單調遞增，且滿足f（-x）=f（x-1），給出下列結論：①f（1）=0；②函數f（x）的周期是2；③函數f（x）在上單調遞增；④函數f（x+1）是奇函數．
其中正確的命題的序號是________．

Answer 1

①②④
分析：①由f（-x）=f（x-1），用賦值法求解．②由奇函數和f（-x）=f（x-1），可得f（x-1）=-f（x），進而有f（x+2）=f（x）得證．③由②知無法得知其性質．④函數f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移1個單位，由f（x）的性質判斷出它是奇函數．
解答：①∵函數f（x）是定義在R上的奇函數
∴f（0）=0，
又∵f（-x）=f（x-1）
∴f（-1）=f（1）=0
正確．
②∵奇函數和f（-x）=f（x-1），
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x）
∴函數f（x）的周期是2．
③由②知無法得知其性質，不正確．
④∵函數f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移1個單位，
∵f（x）是奇函數，f（x-1）=-f（x），
∴f（1-x）=f（x），
即函數f（x）關于x=對稱，可得出（1，0）點也是對稱中心
所以f（x+1）是奇函數，正確．
故答案為：①②④
點評：本題主要考查抽象函數的基本性質，涉及到奇偶性，單調性，對稱性，周期性．考查全面具體，要求平時學習掌握知識要扎實，靈活．