Question

13．函數(shù)f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]的值域為（0，3ln2]．

Answer 1

分析 利用導函數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求其值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]，且x≠2．
則f′（x）=$\frac{[xln（x-1）]′（x-2）-（x-2）′[xln（x-1）]}{（x-2）^{2}}$，
令f′（x）=0，
解得：x=2．
∵x∈[1.5，3]，且x≠2．
當1.5≤x＜2，f′（x）＜0，故而f（x）是單調(diào)遞減，且f（x）＞0．
當2＜x≤3，f′（x）＞0，故而f（x）是單調(diào)遞增，且f（x）＞0．
∴f（x）＞0．
當x=3時，取得最大值為3ln2．
得函數(shù)f（x）的值域為（0，3ln2]．
故答案為：（0，3ln2]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．