Question

已知=（cos，sin），=（cos，-sin），且θ∈[0，]．
（1）若|+|=1，試求θ的值；
（2）求的最值．

Answer 1

解：（1）由題意可得 •=coscos+sin（-sin）=cos（+）=cos2θ，
∴=++•=2+2cos2θ=4cos²θ=1，∴cosθ=．
再由θ∈[0，]可得 θ=．
（2）∵==cosθ-，令 t=cosθ，則有≤t≤1，∴（t-）′=1+＞0，
∴（t-） 在[，1]上是增函數(shù)，故當t=時，（t-） 取得最小值為-，當t=1時，（t-） 取得最大值為 ．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求出•的值，再由 =1求出cosθ=，再由θ的范圍求出θ的值．
（2）化簡 為cosθ-，令 t=cosθ，則有≤t≤1，利用導數(shù)判斷函數(shù) （t-） 在[，1]上是增函數(shù)，由此求得函數(shù)的最值．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．