Question

設(shè)函數(shù)f（x）的解析式滿(mǎn)足．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，記函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的值域．

Answer 1

解：（1）設(shè)x+1=t（t≠0），則x=t-1，
∴
∴
（2）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴，∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
（3）∵，
∴g（x）為偶函數(shù)，
所以，∴y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
又當(dāng)時(shí)，由（2）知在單調(diào)減，[1，2]單調(diào)增，
∴
∴當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間上的值域的為
分析：（1）根據(jù)整體思想x+1=t（t≠0），則x=t-1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡(jiǎn)后判斷出單調(diào)性，再利用定義法證明：在區(qū)間上取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論，因解析式由分式，故變形時(shí)必須用通分．（3）根據(jù)題意判斷出函數(shù)g（x）的奇偶性，根據(jù)（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間上的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)綜合題，用換元法求解析式，用定義法證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，必須遵循證明的步驟，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力．屬中檔題．