Question

11．如圖l，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，點G，R分別在線段DH，HB上，且$\frac{DG}{GH}$=$\frac{BR}{RH}$．將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，B，C重合于點P，如圖2所示，
（I）求證：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）若正方形ABCD的邊長為4，求三棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能證明GR⊥平面PEF．
（Ⅱ）設(shè)三棱錐P-DEF的內(nèi)切球半徑為r，由三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}（{S}_{△PEF}+2{S}_{△DPF}+{S}_{△DEF}）•r$，能求出棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑．

解答 證明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均為直角，
∴在三棱錐P-DEF中，PE，PF，PD三條線段兩兩垂直，
∴PD⊥平面PEF，
∵$\frac{DG}{GH}$=$\frac{BR}{RH}$，即$\frac{DG}{GH}=\frac{PR}{RH}$，∴在△PDH中，RG∥PD，
∴GR⊥平面PEF．
解：（Ⅱ）正方形ABCD邊長為4，
由題意PE=PF=2，PD=4，EF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PEF=2，S_△PFD=S_△DPE=4，
${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=6，
設(shè)三棱錐P-DEF的內(nèi)切球半徑為r，
則三棱錐的體積：
${V}_{P-DEF}=\frac{1}{6}×2×2×4$=$\frac{1}{3}（{S}_{△PEF}+2{S}_{△DPF}+{S}_{△DEF}）•r$，
解得r=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的內(nèi)切的半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．