Question

14．如如，在三棱錐A-BCD中，AB=AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點．
（1）求證：CD⊥平面AEF；
（2）已知AB=4，BC=2，CD=2$\sqrt{3}$，求三棱錐B-AEF的高．

Answer 1

分析 （1）通過證明AE⊥平面BCD，即可證明AE⊥CD，由點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，可證EF⊥CD，即可證明CD⊥平面AEF；
（2）由于V_B-AEF=V_A-BEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AE，分別求出S_△BEF，在Rt△AEF中，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•EF=$\sqrt{3}$，設(shè)三棱錐B-AEF的高為h，由V_B-AEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•h，即可求得三棱錐B-AEF的高．

解答 解：（1）∵AB=AD，點E為BD的中點，
∴AE⊥BD，…1分
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，…2分
∵CD?平面BCD，
∴AE⊥CD，…3分
∵點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點．
∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，
∴EF⊥CD，…5分
∵EF∩AE=E，EF，AE?平面AEF，
∴CD⊥平面AEF；…6分
（2）由（1）可知AE⊥平面BCD，
∴線段AE的長就是點A到平面BCD的距離，
又∵EF?平面BCD，
∴AE⊥EF，
在Rt△BCD中，BC=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4，
∴AB=AD=BD=4，故△ABD是邊長為4的等邊三角形，
又∵AE⊥BD，E為BD的中點，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點．
∴EF∥BC，且EF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△BCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
V_B-AEF=V_A-BEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AE=1，
在Rt△AEF中，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•EF=$\sqrt{3}$，
設(shè)三棱錐B-AEF的高為h，
則由V_B-AEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•h，可得：h=$\frac{3{•V}_{{B}_{-AEF}}}{{S}_{△AEF}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
故三棱錐B-AEF的高為$\sqrt{3}$…12分

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．