Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

1

anan+1

，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用裂項(xiàng)求和即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d，且d≠0，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₁=1
∴（1+d）²=1×（1+4d）
解得d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．