Question

已知的定義域為R，函數(shù)的定義域為[0，2]．
（1）設(shè)a≠0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求g（x）的值域；
（3）設(shè)a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負來求單調(diào)區(qū)間即可；
（2）先求出x=0時，g（x）=0；再結(jié)合基本不得呢公式求出其他部分的值域，最后綜合即可．
（3）先把問題轉(zhuǎn)化為[0，]⊆A，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的值域，求出其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)區(qū)間求出最值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵f'（x）=ax²-a²，
當a＞0時，增區(qū)間為（-∞，-）和（，+∞），減區(qū)間為（-，）；
當a＜0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在實數(shù)集上單調(diào)遞減．
（2）g（x）=，x∈[0，2]，x=0時，g（x）=0．
0＜x≤2時，g（x）=•≤•=•=，且g（x）＞0，
當且僅當x=1時上式取等號，即0＜g（x）≤．
綜上，g（x）的值域為[0，]．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域是A，
若對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]使g（x₁）-f（x）=0，
∴[0，]⊆A
當a＞0由f'（x）=ax²-a²=a（x-）（x+）
令f'（x）=0得x=或x=-（舍去）．
0＜＜2時，x，f'（x），f（x）的變化如表，

∴f（0）=0，f（）＜0，
∴f（2）=a-2a²≥解得≤a≤1．
當≥2時，f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．
∴f（0）=0，f（2）=a-2a²＜0，
∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，]⊆A．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是[，1]．
點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間．在利用基本不等式解題時，一定要注意基本不等式使用的條件：一正，二定，三相等．