Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*滿足2S_n=a_n（a_n+1），且a_n≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an+1，n為奇數(shù)， 3×2an-1+1，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n} 的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析：（I）利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）分組利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵2S_n=a_n（a_n+1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
以上兩式相減得2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又當(dāng)n=1時(shí)，由2S₁=a₁（a₁+1）及a₁≠0得a₁=1，
∵a_n≠0，∴當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n-a_n-1=1或a_n+a_n-1=0．
①當(dāng)a_n-a_n-1=1時(shí)，數(shù)列{ a_n }是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=n（n∈N^*）．
②當(dāng)a_n+a_n-1=0時(shí)，an=(-1)n-1.（n∈N^*）．
（Ⅱ）①當(dāng)a_n=n（n∈N^*）．
得cn=

n+1，n為奇數(shù) 3×2n-1+1，n為偶數(shù)

．
∴T_2n=（2+4+…+2n）+3（2¹+2³+…+2^2n-1）+n=n（n+1）+

3×2×(22n-1)

4-1

+n=n²+2n-2+2²ⁿ⁺¹．
②當(dāng)an=(-1)n時(shí)，得到cn=

-1，n為奇數(shù) 7，n為偶數(shù)

．
∴T_2n=n（-1+7）=6n．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1求a_n”的方法、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論的思想方法．