Question

2．已知定義在R上的函數f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}$+1，a∈R以下說法正確的是（　�。�
①函數f（x）的圖象是中心對稱圖形
②函數f（x）有兩個極值
③函數f（x）零點個數最多為三個
④當a＞0時，若1＜m＜n，則f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 根據y=f（x）-1的奇偶性判斷①；令f′（x）=0，根據解的個數判斷②；根據方程f（x）=0的解得個數判斷③；利用f（x）在（1，+∞）上的單調性和極限判斷④．

解答 解：對于①，令g（x）=f（x）-1=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$，則g（x）是奇函數，
∴g（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴f（x）的圖象關于（0，1）對稱，故①正確；
對于②，當a=0時，f（x）=1，顯然f（x）無極值，故②錯誤；
對于③，令f（x）=0得$\frac{ax}{{x}^{2}+1}+1=0$，∴x²+ax+1=0，
顯然方程不可能3解，即f（x）不可能有3個零點，故③錯誤；
對于④，當x＞1，a＞0時，f′（x）=$\frac{a-a{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞減，又x→+∞時，f（x）=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}}+1$→1，
作出f（x）在（1，+∞）上的大致函數圖象如圖，

由圖象可知$\frac{f（m）+f（n）}{2}$＞f（$\frac{m+n}{2}$），即f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）．故④正確．
故選C．

點評 本題考查了函數單調性、奇偶性的判斷，屬于中檔題．