Question

10．若函數(shù)f（x）=a+xlnx有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{e}$]
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$]
• D． （-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=lnx+1，從而可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在定義域內(nèi)的極限，可得函數(shù)f（x）=a+xlnx有兩個零點時，實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a+xlnx有兩個零點，
∴函數(shù)f′（x）=lnx+1，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
故當x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)取最小值a-$\frac{1}{e}$，
又∵$\lim_{x→{0}^{+}}$f（x）=a，$\lim_{x→+∞}$f（x）=+∞；
∴若使函數(shù)f（x）有兩個零點，
則a＞0且a-$\frac{1}{e}$＜0，
即a∈（0，$\frac{1}{e}$），
故選：B

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題