【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程,求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果;
(2)解法一:利用導(dǎo)數(shù)研究,得到函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)
的單調(diào)遞增,當(dāng)a=1時(shí)由
得
,符合題意;當(dāng)a>1時(shí),可證
,從而
存在零點(diǎn)
,使得
,得到
,利用零點(diǎn)的條件,結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后,利用基本不等式可以證得
恒成立;當(dāng)
時(shí),研究
.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
解法二:利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將,
令,上述不等式等價(jià)于
,注意到
的單調(diào)性,進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為
,令
,利用導(dǎo)數(shù)求得
,進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對(duì)數(shù)不等式,解得a的取值范圍.
(1),
,
.
,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即
,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,
∴所求三角形面積為;
(2)解法一:,
,且
.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增,即
在
上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,∴
,∴
成立.
當(dāng)時(shí),
,
,
,
∴存在唯一,使得
,且當(dāng)
時(shí)
,當(dāng)
時(shí)
,
,
,
因此
>1,
∴∴
恒成立;
當(dāng)時(shí),
∴
不是恒成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
解法二:等價(jià)于
,
令,上述不等式等價(jià)于
,
顯然為單調(diào)增函數(shù),∴又等價(jià)于
,即
,
令,則
在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴,
,∴a的取值范圍是[1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,
,
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若點(diǎn)是線段
上靠近
的三等分點(diǎn),求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知0<m<2,動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(﹣m,0),F2(m,0)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,若曲線C過(guò)點(diǎn).
(1)求m的值以及曲線C的方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)且斜率不為零的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn).證明:以AB為直徑的圓過(guò)曲線C的右頂點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】政府工作報(bào)告指出,2019年我國(guó)深入實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略,創(chuàng)新能力和效率進(jìn)一步提升;2020年要提升科技支撐能力,健全以企業(yè)為主體的產(chǎn)學(xué)研一體化創(chuàng)新機(jī)制,某企業(yè)為了提升行業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力,逐漸加大了科技投入;該企業(yè)連續(xù)5年來(lái)的科技投入x(百萬(wàn)元)與收益y(百萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
科技投入x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收益y | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 |
(1)請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)按照(1)中模型,已知科技投入8百萬(wàn)元時(shí)收益為140百萬(wàn)元,求殘差(殘差
真實(shí)值-預(yù)報(bào)值).
參考數(shù)據(jù):回歸直線方程,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) ( )
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在①;②
;③
,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.
在△中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為
.且滿足_________.
(1)求;
(2)已知,△
的外接圓半徑為
,求△
的邊AB上的高
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,
為矩形,
為等腰梯形,
,
,
,且
,平面
平面
,
,
分別為
,
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)若,求多面體
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
Ⅰ
若函數(shù)
的最大值為3,求實(shí)數(shù)
的值;
Ⅱ
若當(dāng)
時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
Ⅲ
若
,
是函數(shù)
的兩個(gè)零點(diǎn),且
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,
為棱
上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)
不與點(diǎn)
,
重合),過(guò)點(diǎn)
作平面
分別與棱
,
交于
,
兩點(diǎn),若
,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.面
B.存在點(diǎn),使得
∥平面
C.存在點(diǎn),使得點(diǎn)
到平面
的距離為
D.用過(guò),
,
三點(diǎn)的平面去截正方體,得到的截面一定是梯形
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