Question

已知一個橢圓的兩個焦點分別為F₁(-1,0),F₂(1,0),直線x=4是這個橢圓的一條準(zhǔn)線.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)點P在橢圓上,且|PF₁|-|PF₂|＞0,求的最小值；

(3)過F₂任意作一條直線l交y軸于點M，交橢圓于點A、B.若=λ₁₂，=λ₂₂，求λ₁+λ₂的值.

Answer 1

解:(1)由已知c=1,=4,則A=2,b=.?

∴橢圓方程為.                                                                                    ?

(2)設(shè)P(x₀,y₀),由||-||＞0,得0＜x₀≤2.?

∵||=2+x₀,||=2-x₀,?

∴||-||=x₀.                                                                                                  ?

∵=(-1-x₀,-y₀), =(1-x₀,-y₀),?

∴·=（-1-x₀）（1-x₀）+（-y₀）²=x₀²+y₀²-1，                                               ?

則==＝(x₀+）.                            ?

∵函數(shù)y=x+在(0,2］上為減函數(shù),?

∴當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2時,取得最小值（2+）=.                           ??

（3）設(shè)M（0，b），則由定比分點坐標(biāo)公式可知?

A（,）,B(,),                                                                  ?

∵A、B在橢圓上，則?                    ?

消去B得3（λ₁²-λ₂²）=12 ［（1+λ₁）²-（1+λ₂）²］，?

又∵λ₁≠λ₂，?

∴λ₁+λ₂=-.