設(shè)f(x)定義于實數(shù)集R上，當x＞0時f(x)＞1，且對于任意x、y∈R有f(x＋y)=f(x)·f(y)，同時f(1)=2．解不等式．

答案：
解析：

分析：此題為抽象函數(shù)，解題思路不明顯，但從所給的函數(shù)性質(zhì)：①f(x＋y)=f(x)·f(y)，②當x＞0時f(x)＞1，③f(1)=2，我們不難聯(lián)想到函數(shù)f(x)=2x可以作為抽象函數(shù)的模型函數(shù)，由模型函數(shù)可啟發(fā)我們找到解題思路，即將4化歸為f(2)，然后證明f(x)為增函數(shù)，即可解不等式．

解∵ f(1)=2，x、y∈R，有f(x＋y)=f(x)·f(y)，

∴ f(2)=f(1＋1)=f(1)·f(1)=2·2=4．

)

∴ f(0)=0，或f(0)=1．

若f(0)=0，則當x＞0時，f(x＋0)=f(x)·f(0)=0＜1．

與已知x＞0時f(x)＞1矛盾，故f(0)≠0．

∴ f(0)=1．

又∵f(0)=f(x－x)=f(x)·f(－x)=1，

∴ x∈R，f(x)＞0．

∴ f(x)在R上為增函數(shù)．

解得1＜x＜2．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若
OM
=x
OA
，
ON
=y
OB
．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=
x
x+1
；
（2）設(shè)f(x)=
x
x+1
，定義在R上的偶函數(shù)F（x），當x∈[0，1]時F（x）=f（x），且函數(shù)F（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，求證：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）時的解析式；
（3）在（2）的條件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若
OM
=x
OA
，
ON
=y
OB
．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=
x
x+1
；
（2）設(shè)f(x)=
x
x+1
，定義函數(shù)F(x)=
1
f(x)
-1(0＜x≤1)，點列Pi（xi，F(xiàn)（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數(shù)F（x）的圖象上，且數(shù)列{xn}是以首項為1，公比為
1
2
的等比數(shù)列，O為原點，令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
，是否存在點Q（1，m），使得
OP
⊥
OQ
？若存在，請求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)函數(shù)G（x）為R上偶函數(shù)，當x∈[0，1]時G（x）=f（x），又函數(shù)G（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，當方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x） 滿足條件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）對非零實數(shù)x，都有2f（x）+f（
1
x
）=2x+
1
x
+3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=
f(x)2-2x
（x≥0）直線 y=
2
n-x分別與函數(shù)f（x） 的反函數(shù) 交于A，B兩點
（其中n∈N*），設(shè) an=|AnBn|，sn為數(shù)列an 的前n項和．求證：當n≥2 時，總有 Sn2＞2（
s2
2
+
s3
3
+…+
sn
n
）成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：長寧區(qū)二模 題型：解答題

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若
OM
=x
OA
，
ON
=y
OB
．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=
x
x+1
；
（2）設(shè)f(x)=
x
x+1
，定義函數(shù)F(x)=
1
f(x)
-1(0＜x≤1)，點列Pi（xi，F(xiàn)（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數(shù)F（x）的圖象上，且數(shù)列{xn}是以首項為1，公比為
1
2
的等比數(shù)列，O為原點，令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
，是否存在點Q（1，m），使得
OP
⊥
OQ
？若存在，請求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)函數(shù)G（x）為R上偶函數(shù)，當x∈[0，1]時G（x）=f（x），又函數(shù)G（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，當方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)a的取值范圍．

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